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第二十五章 韓·數學鬼才·立

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  屋子里,徐云正在侃侃而談:

  “牛頓先生,韓立爵士計算發現,二項式定理中指數為分數時,可以用e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……來計算。”

  說著徐云拿起筆,在紙上寫下了一行字:

  當n=0時,e^x>1。

  “牛頓先生,這里是從x^0開始的,用0作為起點討論比較方便,您可以理解吧?”

  小牛點了點頭,示意自己明白。

  隨后徐云繼續寫道:

  假設當n=k時結論成立,即e^x>1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!(x>0)

  則e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!]>0

  那么當n=k+1時,令函數f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!(x>0)

  接著徐云在f(k+1)上畫了個圈,問道:

  “牛頓先生,您對導數有了解么?”

  小牛繼續點了點頭,言簡意賅的蹦出兩個字:

  “了解。”

  學過數學的朋友應該都知道。

  導數和積分是微積分最重要的組成部分,而導數又是微分積分的基礎。

  眼下已經時值1665年末,小牛對于導數的認知其實已經到了一個比較深奧的地步了。

  在求導方面,小牛的介入點是瞬時速度。

  速度=路程/時間,這是小學生都知道的公式,但瞬時速度怎么辦?

  比如說知道路程s=t^2,那么t=2的時候,瞬時速度v是多少呢?

  數學家的思維,就是將沒學過的問題轉化成學過的問題。

  于是牛頓想了一個很聰明的辦法:

  取一個”很短”的時間段△t ,先算算t= 2到t=2+△t 這個時間段內,平均速度是多少。

  v=s/t=(4△t+△t^2)/△t=4+△t。

  當△t 越來越小,2+△t就越來越接近2 ,時間段就越來越窄。

  △t 越來越接近0時,那么平均速度就越來越接近瞬時速度。

  如果△t小到了0 ,平均速度4+△t就變成了瞬時速度4。

  當然了。

  后來貝克萊發現了這個方法的一些邏輯問題,也就是△t到底是不是0。

  如果是0,那么計算速度的時候怎么能用△t做分母呢?鮮為人...咳咳,小學生也知道0不能做除數。

  到如果不是0,4+△t就永遠變不成4,平均速度永遠變不成瞬時速度。

  按照現代微積分的觀念,貝克萊是在質疑lim△t→0是否等價于△t=0。

  這個問題的本質實際上是在對初生微積分的一種拷問,用“無限細分”這種運動、模糊的詞語來定義精準的數學,真的合適嗎?

  貝克萊由此引發的一系列討論,便是赫赫有名的第二次數學危機。

  甚至有些悲觀黨宣稱數理大廈要坍塌了,我們的世界都是虛假的——然后這些貨真的就跳樓了,在奧地利還留有他們的遺像,某個撲街釣魚佬曾經有幸參觀過一次,跟七個小矮人似的,也不知道是用來被人瞻仰還是鞭尸的。

  這件事一直到要柯西和魏爾斯特拉斯兩人的出現,才會徹底有了解釋與定論,并且真正定義了后世很多同學掛的那棵樹。

  但那是后來的事情,在小牛的這個年代,新生數學的實用性是放在首位的,因此嚴格化就相對被忽略了。

  這個時代的很多人都是一邊利用數學工具做研究,一邊用得出來的結果對工具進行改良優化。

  偶爾還會出現一些倒霉蛋算著算著,忽然發現自己這輩子的研究其實錯了的情況。

  總而言之。

  在如今這個時間點,小牛對于求導還是比較熟悉的,只不過還沒有歸納出系統的理論而已。

  徐云見狀又寫到:

  對f(k+1)求導,可得f(k+1)'=e^x-1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!

  由假設知f(k+1)'>0

  那么當x=0時。

  f(k+1)=e^0-1-0/1!-0/2!-.-0/k+1!=1-1=0

  所以當x>0時。

  因為導數大于0,所以f(x)>f(0)=0

  所以當n=k+1時f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!(x>0)成立!

  最后徐云寫到:

  綜上所屬,對任意的n有:

  e^x>1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!(x>0)

  論述完畢,徐云放下鋼筆,看向小牛。

  只見此時此刻。

  這位后世物理學的祖師爺正瞪大著那一雙牛眼,死死地盯著面前的這張草稿紙。

  誠然。

  以目前小牛的研究進度,還不太好理解切線與面積的真正內在含義。

  但了解數學的人都知道,廣義二項式定理其實就是復變函數的泰勒級數的特殊情形。

  這個級數與二項式定理是兼容的,系數符號也是與組合符號兼容的。

  所以二項式定理可以由自然數冪擴充至復數冪,組合定義也可以由自然數擴充至復數。

  只不過徐云在這里留了一手,沒有告知小牛n為負數的時候就是無窮級數這件事。

  因為按照正常的歷史線,無窮小量可是出自小牛之手,推導的過程還是交給他本人就好了。

  就這樣過了幾分鐘,小牛方才回過神。

  只見他直接無視了身邊的徐云,一個身位竄回座位,飛快的開始演算了起來。

  看著全身心投入計算的小牛,徐云也不生氣,畢竟這位祖師爺就是這種脾氣,可能也就在威廉·艾斯庫的面前會相對好點了。

  沙沙沙——

  很快。

  筆尖與稿紙接觸的聲音響起,一道道公式被飛快列出。

  徐云見狀思索片刻,轉身離開了屋子。

  隨意在墻角找了個位置,抬頭看起了云卷云舒。

  就這樣,兩個小時一轉而過。

  就在徐云盤算著自己下一步該如何落子的時候,木屋門忽然被人從中推開,小牛一臉激動的從內中竄了出來。

  只見他的眼中布滿了血絲,用力的朝徐云揮了揮手中的稿紙:

  “肥魚,負數、我推出了負數!一切都搞清楚了!

  二項式指數不用去管它是正數還是負數,是整數還是分數,組合數對所有條件都成立!

  楊輝三角,對,下一步就是研究楊輝三角!”

  也不知道是不是太過激動的緣故,小牛壓根沒注意到,自己的假發都被震落到了地上。

  看著滿臉紅光的小牛,徐云心中也不由浮現出了一絲改變歷史的振奮感。

  按照正常軌跡。

  小牛要等到明年一月份收到一封約翰·提斯里波蒂的信件后,才會開竅般的攻克一系列的疑點難點。

  而約翰斯里波蒂的那封信件中,提及的正是帕斯卡公開的三角圖形。

  也就是說......

  這個時空數學史的節點,第一次被改變了!

  有了二項式開展的初步成果,小牛必然要不了多久時間,便會在楊輝三角的協助下構筑出初步的流數術模型。

  由此一來。

  楊輝三角這個名字,也將會被鐫刻在數學王座的基底之上,那個本就該屬于它的位置!

  縱使今后數百年世事變遷,滄海桑田,依舊無人能夠撼動!

  華夏先賢之光,在這條時間線里將永不蒙塵!

  想到這兒,徐云不由深吸一口氣,快步走上前:

  “恭喜您了,牛頓先生。”

  看著面前東方面孔的徐云,小牛的臉上也**了一股感慨。

  那位未曾謀面的韓立爵士,僅僅是留下的幾處隨筆就能為自己撥云見日,僅假借肥魚這個不知相隔多少代的弟子之手,便能為自己推開一扇大門。

  那么韓立爵士本人的學識又能達到什么樣的高度呢?

  能想出這種展開式的天才,稱得上一句數學鬼才絕不為過吧?

  原本自己以為笛卡爾先生已經天下無敵了,沒想到居然還有人比他更為勇猛!

  看來自己的數理之路,依舊任重道遠啊......

  ......

  為啥出圈指數是負的.....

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