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第1127章 霍奇猜想的新思路

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  大概是在年初那會兒,陸舟還沒有將陳陽從燕大數學中心挖來的時候,這位陳教授便在研究霍奇猜想了。

  陸舟還記得,當時他在黑板上研究自己的超橢圓曲線分析法,并且用了一種非常巧妙的方法,將這個原本為準黎曼猜想設計的數學工具,改進之后直接運用在了對非奇異復代數簇的代數拓撲,以及其定義子簇的多項式方程所表述的幾何關聯問題的研究上。

  當初也正是因為這一手漂亮的操作,讓陸舟不禁動了愛才之心,將他從燕大數學中心挖到了金陵這邊來。

  現在已經過去快一年了,關于霍奇猜想的課題仍然沒有絲毫的進展,再加上前段時間一直在忙代數幾何統一理論的事情,以至于陸舟都快把這件事給忘了。

  “走,去我辦公室說。”

  帶著陳陽來到了自己的辦公室,陸舟親自去墻角幫他拖來了一張白板,并且將自己的記號筆遞到了他的手上。

  沒有將時間浪費在客套上,接過了筆之后,站在白板前的陳陽思索了片刻,首先在白板上隨手畫了個圓,然后在旁邊標記了s,并寫下了一行表達式。

  “……對于緊致無邊的曲面s,其gauss曲率k可以在整個曲面上進行積分。”

  一邊寫著,陳陽一邊繼續說道。

  “眾所周知的是,一個曲面不一定只容有一個度量,所以我嘗試對s的度量進行了更換。在更換了度量之后,相應的gauss曲率k同樣也會發生改變,但積分值卻與曲面的度量無關,而只與曲面的euler示性數x(s)有關,利用這一性質,我們可以——”

  看著白板上的算式,陸舟眉毛輕輕抬了下,饒有興趣地說道。

  “gaussbonnet公式?”

  手中的筆停住,陳陽點了下頭說道。

  “正是。”

  說罷,他將gaussbonnet公式寫了上去。

  看到這畫龍點睛的一筆,陸舟的臉上感興趣的神色愈發濃烈了。

  事實上,他大概已經猜到,陳陽是打算干什么了。

  根據高維黎曼流形m的性質,gauss曲率可以推廣為截面曲率,它的值可以由黎曼曲率的張量決定。至于其被積函數,則是由曲率張量組成的很復雜的代數式——即gaussbonnet被積函數。

  至于其在整個流形上的積分,則是由這個流形的euler示性數x(m)所決定。

  利用這些性質,便能夠將hodge理論推廣到完備非緊流形中。

  這些深刻的數學意義,是由陳省身教授得到的,也就是著名的gauss–bonnet–陳公式中的數學內涵。

  再結合阿提亞爵士的l2上同調方法,沿著這條思路繼續走下去,搞不好還真能把這個猜想給證出來。

  當然,具體該如何證明,還需要深入研究一下就是了。

  想到這里,陸舟贊許地點頭。

  秒啊。

  實在是妙。

  不知何時,陳陽的背后已經站了一圈人。

  早在他剛剛開始板書的時候,辦公室里的人便注意到了這邊。

  盯著白板上的算式,季默兩眼發光,激動的小聲說道:“這,難道就是傳說中的——”

  見自己師弟說話又只說了一半,何昌文皺了下眉頭,低聲道:“到底是啥,別賣關子。”

  季默奇怪地看了他一眼。

  “霍奇猜想啊!很明顯嘛。”

  何昌文:“……”

  這特么哪里明顯了?!

  不過仔細一看,好像確實是這樣。

  想到這里,何昌文不禁在心中安慰了自己一句。

  嗯,如果認真看的話,他應該也是能看出來的。

  白板上的筆停下了,陳陽陷入了沉思。

  顯然,這條思路他只走到了一半,后面該怎么走還沒有很好的想法。

  不知何時來的辦公室,站在旁邊一直沉默不語的佩雷爾曼教授,忽然開口說道。

  “這條思路看起來有點意思。”

  回頭看向了佩雷爾曼教授,陳陽微微愣了下,有些意外地說道。

  “您是什么時候過來的?”

  “大概在你寫到一半的時候……本來我是來找陸教授的,沒想到在這里還有意外收獲,”停頓了一下,佩雷爾曼繼續說,“……可以給我用下筆嗎?”

  沒有任何的猶豫,陳陽果斷將手中的記號筆讓了出來。

  從陳教授的手中接過了筆,站在白板前的佩雷爾曼沉思了片刻,隨后在他的算式下面空了幾行,繼續寫了起來。

  “既然有現成的代數幾何統一理論可以運用,式(3)的證明我就省略了。”

  “……我的建議是,對于之后部分的證明,我們可以將緊流形m問題提升到它的通用復蓋流形上,得到完備非緊流形m。”

  “根據阿提亞的定理,如果我們能在截面曲率的條件下證明除了中間的l2同調群其余都為零……”

  說著,他手中的筆輕輕抖了一下,很快寫下了一行簡潔而優美的算式。

  hn(m)6≠{0},且當q≠n時,hq(m){0}

  看到這行算式的瞬間,陳陽的瞳孔微微收縮。

  臉上的表情瞬間浮現了一絲明悟,他壓抑著激動的語氣說道。

  “……我們就能得到霍奇猜想的證明!”

  那么問題來了。

  該如何證明,在截面曲率的條件下,除了中間的l2同調群其余都為零?

  對話到這里忽然戛然而止了。

  短暫的興奮之后,兩人不約而同地陷入了沉默。

  最后,又不約而同地看向了陸舟。

  注意到兩人看向自己,從頭到尾一句話都沒說的陸舟忽然眨了眨眼,笑著說道。

  “我覺得你們的想法都不錯……雖然我沒仔細研究過這個課題,但直覺告訴我照著這條路走下去,八成是能夠有所收獲的。”

  頓了頓,他繼續說道。

  “這個思路非常有意思,我的建議是,你們不如一起研究這個課題好了。”

  總感覺陸舟似乎看出來了些什么,卻又沒有把話說明白。

  佩雷爾曼皺了下眉頭,遲疑問道。

  “你不參與嗎?這可是個很有意思的難題。”

  何止是有意思。

  霍奇猜想可以說是現代數學發展中抽象特征的集中體現,研究的是數學三大分支——分析、拓撲、代數幾何之間的內在聯系。

  至于難度,作為千禧難題的它,自然是毋庸置疑的。

  令佩雷爾曼詫異的是,陸舟居然沒有表現出很強烈的興趣。

  陸舟:“……雖然我很感興趣,但imcrc那邊還有一堆事情等著我去處理,恐怕最近我都沒有更多的時間,能夠分配到數學這邊了。”

  聽到這個消息,佩雷爾曼臉上露出了遺憾的表情。

  “那實在是太遺憾了。”

  “雖然我恐怕抽不出時間幫忙,但我鄭重的向你推薦陳教授,”拍了拍陳陽的肩膀,陸舟笑著說道,“他是一位優秀的學者,關于他的能力,相信你也是了解的,我就不多吹牛了。總之,你們合作的話,我相信一定能夠解決這個問題。”

  雖然對這種絕對的說法表示懷疑,但看了一眼陳教授,佩雷爾曼也沒有說什么,只是點了下頭,看樣子是認可了這位合作伙伴。

  兩人都是那種話不多的類型,也沒有太多的交流。

  陸舟清了清嗓子之后,看著佩雷爾曼繼續說道。

  “說起來,你繼續留在這邊沒問題嗎?代數與幾何的統一理論已經完成了。”

  “沒有問題,”佩雷爾曼搖了搖頭,“我和母親已經打過電話了,她讓我去做自己想做的事情,不用太在意她那邊。我確實還有想做的事情沒有完成,我打算在這里……再待一段時間,把霍奇猜想解決了再回去。”

  雖然很意外佩雷爾曼教授居然會選擇留下來,但這種好事陸舟自然是不會拒絕,當即笑著說道。

  “那你還是住在原來那個公寓吧,我會幫你申請延長公寓的使用時間。”

  佩雷爾曼點了點頭,感謝道。

  “麻煩你了。”頂點小說手機站m.11kt.cn

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